\section{开集和闭集}

\begin{exercise}
    \begin{enumerate}
        \item {
            首先很容易知道，$A \cup B \subseteq \bar{A} \cup \bar{B}$，$A \cup B = \overline{A \cup B}$。
            
            任意的$x \in \overline{A \cup B} - (A \cup B)$，可知$x$是$A \cup B$的极限点。
            采用反证法，倘若$x \notin \bar{A} \cup \bar{B}$，则$x$既不是$A$的极限点也不是$B$的极限点。
            则存在包含$x$的开集$U_1,U_2$，使得
            $$U_1 \cap A = \varnothing \qquad U_2 \cap B = \varnothing$$
            记$U = U_1 \cup U_2$，$U$是开集，$x \in U$，且$U \cap (A \cup B) = \varnothing$，则$x$不是$A \cup B$的极限点，矛盾。
            因此$x \in \bar{A} \cup \bar{B}$。
            
            任意的$x \in (\bar{A} \cup \bar{B}) - (A \cup B)$，则可知$x$是$A$或$B$的极限点，不妨设是$A$的极限点。
            则任意的包含$x$的开集$U$，都有
            $$U \cap A \ne \varnothing \Longrightarrow U \cap (A \cup B) = \varnothing$$
            进而$x$是$A$的极限点，进而 $x \in \overline{A \cup B} \Rightarrow \bar{A} \cup \bar{B} \subseteq \overline{A \cup B}$ 。
            
            综上$x \in \overline{A \cup B} \Rightarrow \bar{A} \cup \bar{B} = \overline{A \cup B}$。
            }
        \item {
            首先很容易知道，$A \cap B \subseteq \bar{A} \cap \bar{B}$，$A \cap B = \overline{A \cap B}$。

            任取$x \in \overline{A \cap B} - (A \cap B)$，要证$x \in \bar{A} \cap \bar{B}$，
            i.e. $x$同时是$A$和$B$的极限点。因为$x$是$A \cap B$的极限点，故任意的包含$x$的开集$U$，都有
            $$U \cap (A \cap B) = (U \cap A) \cap (U \cap B) \ne \varnothing$$
            这说明$U \cap A \ne \varnothing$，$U \cap B \ne \varnothing$，这就推出$x$同时是$A$和$B$的极限点。

            接下来说明等号为什么不成立。任意的$x \in \bar{A} \cap \bar{B}$，任意的包含$x$的开集$U_1,U_2$，都有
            $$U_1 \cap A \ne \varnothing \qquad U_2 \cap B \ne \varnothing$$
            但是这推不出$(U_1 \cap A ) \cap ( U_2 \cap B) \ne \varnothing$。

            作为反例，取$X = \RR$，$A = (-1,0)$，$B = (0,1)$，可以知道
            $$
            \overline{A \cap B} = \overline{\varnothing} = \varnothing  \quad \ne \quad
            \bar{A} \cap \bar{B} = [-1,0] \cap [0,1] = \{0\}
            $$
        }
        \item {
            要证$\bar{\bar{A}} = \bar{A}$，也即证$\bar{\bar{A}} - \bar{A} = \varnothing$，
            也即证$\bar{A}$以外没有$\bar{A}$的极限点，
            也即证任意的$x \in X - \bar{A}$，总存在包含$x$开集$U$，使得$U \cap \bar{A} = \varnothing$。

            因为$x \ne \bar{A}$，所以总是存在包含$x$的开集$U$，使得$U \cap A = \varnothing$。
            记$F = \{p \in X \mid p \text{是}A\text{的极限点}\}$。
            事实上，所有这样的$U$都满足$U \cap F = \varnothing$。假设存在一个开集$U_0$，使得$U_0 \cap F \ne \varnothing$。
            则存在一个$p \in U_0 \cap F$，故$p \in U_0 $，$U_0$是开集，而且$U_0 \cap A = \varnothing$，故$p$不是$A$的极限点，这与$p \in F$矛盾。

            故总是存在符合条件包含$x$的开集$U$使得$U \cap \bar{A}=\varnothing$，这说明$\bar{A}$之外没有它的极限点，因此$\bar{\bar{A}} = \bar{A}$。

            \heiti 这可以说明，任何集合的闭包都是闭集。
        }
        \item {
            任取$x \in A\nb \cup B\nb$，说明$x$在$A$或$B$的内部，不妨设$x$在$A$的内部。
            则存在包含$x$的开集$U$，$U\subseteq A$，进而开集$U \subseteq A \cup B$，
            这说明$x \in (A\cup B)\nb$，进而$A\nb \cup B\nb = (A \cup B)\nb$。

            对于不取等的例子。取$X = \RR$，$A = [-1,0]$，$B = [0,1]$。
            $$
            (A \cup B)\nb = [-1,1]\nb = (-1,1) \quad \ne \quad A\nb \cup B\nb = (-1,0) \cup (0,1)
            $$
        }
        \item {
            先证$(A \cap B)\nb \subseteq A\nb \cap B\nb$。
            任取$x \in (A \cap B)\nb$，总存在包含$x$的开集$U$，使得$ U \subseteq A \cap B$，
            进而$U \subseteq A$，$U \subseteq B$，进而$x \in A\nb$，$x \in B\nb$，故$x \in A\nb \cap B\nb$，
            所以$(A \cap B)\nb \subseteq A\nb \cap B\nb$。

            再证$A\nb \cap B\nb \subseteq (A \cap B)\nb$。
            任取$x \in A\nb \cap B\nb$，则存在包含$x$的开集$U_1, U_1$，使得$U_1 \subseteq A$，$U_2 \subseteq B$。
            取$U = U_1 \cap U_2$，显然$x \in U$，$U$是开集，且$U \subseteq (A \cap B)$，这说明$x \in (A \cap B)\nb$，
            所以$A\nb \cap B\nb \subseteq (A \cap B)\nb$。
        }
        \item {
            很显然$(A\nb)\nb \subseteq A\nb$。
            只需证$A\nb \subseteq (A\nb)\nb$。
            
            任取$x \in A\nb$，总存在包含$x$的开集$U$，使得$U \subseteq A$，
            只需验证$U \subseteq A\nb$。
            采用反证法，假设存在一个$p \in U$，使得$p \notin A\nb$，
            则对于任意的包含$p$的开集$F$，都要保证$F-A = \varnothing$，但是$p \in U$，而且$U \subseteq A \tc U-A = \varnothing$，矛盾。
            因此$U \subseteq A\nb$，进而$A\nb \subseteq (A\nb)\nb$。
            
            综上$(A \nb) \nb = A \nb$。
        }
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    作为样例，考虑
    $$
    \mathcal{S} = \{[1/n,2-1/n] \mid n \in \NN^+\}
    $$
    其中任意区间都是闭区间，进而是闭集，但是$\bigcup \mathcal{S} = (0,2)$是开集。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    \begin{enumerate}
        \item {
            内部：$B(0,\sqrt 2) - \overline{B(0,1)}$。

            闭包：$\overline{B(0,\sqrt 2)} - {B(0,1)}$。

            边界：$\{(x,y) \mid x^2+y^2 \in \{1,2\}\}$。
        }
        \item {
            内部：$\RR^2 - \{(x,y) \mid x=0 \text{或} y = 0\}$。

            闭包：$\RR^2$。

            边界：$\{(x,y) \mid x=0 \text{或} y = 0\}$。
        }
        \item {
            为方便，令$F = \{(x,\sin(1/x)) \mid x > 0\}$。

            内部：$\RR^2 - F - (\{0\} \times [-1,1])$。

            闭包：$\RR^2$。 

            边界：$F \cup (\{0\}\times[-1,1])$。
        }
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    \begin{enumerate}
        \item {
            为方便，令$A = \{(1/m)+(1/n) \mid m,n = 1,2,\cdots\}$。
            则$A$的极限点组成的集合$L = \{1/t \mid t = 1,2,\cdots\} \cup \{0\}$。
            \begin{proof}
                我们接下来先说明$L$中元素都是极限点，再说明$L$外没有极限点。

                首先，$0$是极限点，任取包含$0$的开集$U$，总存在实数$\varepsilon > 0$，使得$(-\varepsilon, \varepsilon) \subseteq U$。
                取$m = n = \lceil 2/\varepsilon \rceil$，则$0 < 1/m + 1/n < \varepsilon/2 + \varepsilon / 2 = \varepsilon$，故$1/m+1/n \in (-\varepsilon, \varepsilon)$，因此$0$是极限点。
                接下来，任何的$1/t$（$t = 1,2,\cdots$）是极限点，任意的包含$1/t$的开集总有形如$(1/t - \varepsilon, 1/t + \varepsilon)$的开子集，取$m = t, n = \lceil 1/\varepsilon \rceil$，
                则$1/t = 1/m < 1/m + 1/n = 1/t + 1/n < 1/t + \varepsilon$，故$1/m+1/n \in (1/t - \varepsilon, 1/t+\varepsilon)$，故$1/t$是极限点。

                接下来说明$L$以外的元素都不是极限点。
                对于任意的$x < 0$，取$(-\infty, x/2)$与$A$无交点，则$x$不是极限点；
                对于任意的$x \in (0,2) \wedge x \notin L $，首先，总存在两个正整数$n_1=\max \{t \in \N^+ \mid 1/t +1> x\}, n_2 = \min \{t \in \N^+ \mid 1/t < x\}$，满足$1/n_2 < x < 1/n_1 + 1$，
                接下来取$m_1 = \max\{t \in \N+ \mid 1/n_1 + 1/t > x\},m_2 = \min\{t \in \N^+ \mid 1/t < x-1/n_2\}$，
                且$(1/n_2 + 1/m_2,1/n_1 + 1/n_2) - \{x\} \cap A = \varnothing$，这说明$x$不是极限点；
                对于任意的$x > 2$，取$\left(\dfrac{x+2}{2}, \infty\right)$，保证其与$A$无交点，这说明$x$不是极限点。
            \end{proof}
        }
        \item {
            记$x_n = (\sin n) / n$（$n = 1,2,\cdots$），则要找的就是$\{x_n \mid n \in \N^+\}$的极限点。
            事实上$\{x_n\}$的极限点有且只有$0$。

            % TODO: 试着想：什么样子的空间，什么样子的子集，能保证极限点唯一呢？

            \begin{proof}
                先说明$0$是极限点。任意一个包含$0$的开集都有一个形如$(-\varepsilon, \varepsilon)$的子集。
                取$n = \lceil 1/\varepsilon \rceil$，则
                $$
                \left|\frac{\sin n}{n}\right| \le \frac{1}{n} < \varepsilon
                $$
                这说明$(\sin n)/n \in (-\varepsilon, \varepsilon)$，进而说明$0$是极限点。

                接下来说明除$0$以外没有任何极限点。
                我们知道方程$\cot x = x$必定存在一个最小正根，记为$t$，可以说明$1 > (\sin x ) / x \ge (\sin t) / t$。
                对于任意的$x \in \left(-\infty, \dfrac{\sin t}{t}\right) \cup [1,+\infty)$，很容易说明$x$不是极限点。
                其余的$x$通过第一可数空间的序列极限可以证明（见后文注释）。
            \end{proof}
        }
    \end{enumerate}
\end{exercise}

\begin{exercise}
    任意一个$x \in O$：倘若$x \in O \cap A$，则自然$x \in \overline{O \cap A}$；
    如果$x \in O - A$，则任意一个包含$x$的开集$U$，因为$O$是开集，所以$U \cap O$是开集，且$x \in U \cap O$，因为$A$是稠密的，所以$U \cap O \cap A  = U \cap (O \cap A)\ne \varnothing$，因此$x \in \overline{O \cap A}$。
    \qed.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    $Z$中的每一个开集$U_Z$都可以表示成$U_Y \cap Z$的形式，其中$U_Y$是$Y$中开集，而$U_Y$又可以表示成$U_X \cap Y$的形式，其中$U_X$是$X$中的开集。
    因此每一个$Z$中的开集都能有如下形式
    $$
    U_Z = U_Y \cap Z = U_X \cap Y \cap Z = U_X \cap (Y \cap Z) = U_X \cap Z
    $$
    因此$Z$是$X$的子空间。
    \qed.
\end{exercise}

\begin{exercise}
    第一部分，假设$A$是$X$中闭集，则只需证$Y \cap A$是$Y$中闭集即可。
    $A$是$X$中闭集，则$X-A$是$X$中开集，$Y \cap (X-A) = Y \cap X - Y \cap A = Y - Y \cap A$，因为$X-A$是$X$中开集，故$Y \cap (X-A)$是$Y$中开集，
    所以$Y - (Y \cap (X-A)) = Y - (Y - Y\cap A) = Y\cap A$是闭集。\qed.

    第二部分，假设$A$在$Y$中的闭包为$\bar{A}_Y$，在$X$中的闭包为$\bar{A}_X$。
    要证的是$\bar{A}_Y = \bar{A}_X \cap Y$。
    也即证明$\{x \in X \mid x \text{是}A\text{在}X\text{中的极限点}\} \cap Y = \{x \in Y \mid x \text{是}A\text{在}Y\text{中的极限点}\}$。
    记$LHS$\footnote{即左手一侧（Left-Hand Side），后文$RHS$与之相对。}$=M$，$RHS=N$。
    任取$x \in M$，任意的包含$x$的$X$中开集$U$，都有$U \cap A \ne \varnothing$，因为$A\subseteq Y$，故$U \cap (A \cap Y) = (U \cap Y) \cap A \ne \varnothing$，
    进而说明$x$是$A$在$Y$中的极限点。\qed
\end{exercise}

\begin{exercise}
    任意的$x \in {A}\nb_X$，都总存在一个包含$x$的$X$中的开集$U$，满足$U \subseteq A$，
    进而$U \cap Y$是$Y$中开集，并且因为$A \subseteq Y$，所以$U \cap Y \subseteq A$，因此$x \in A\nb_Y$，进而$A\nb_X \subseteq A\nb_Y$。\qed

    接下来说明为什么不能取等。取$X = \R$，$Y = [0,3]$，$A=[0,2]$，容易知道$A\nb_X = (0,2) \ne A\nb_Y = [0,2)$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    因为$A$在$Y$中开（闭），故可以有$A = U \cap Y$，其中$U$为$X$中开（闭）集，然而$Y$也是$X$中开（闭）集，故$A = U \cap Y$也是$X$中开（闭）集。\qed
\end{exercise}

\begin{exercise}
    暂且记一个集合$A$的边界为$\underline{A}$。

    第一部分，任取$x \in \underline{A\nb}$，则$x \in \overline{A\nb} \cap \overline{X - A\nb} = \overline{A} \cap \overline{X - A \nb}$，接下来只需证明$\overline{X - A\nb} \subseteq \overline{X - A}$，
    事实上很容易验证二者是相等的，这里省略。    \qed

    第二部分，$\underline{A \cup B}\subseteq \underline{A} \cup \underline{B}$。
\end{exercise}

\begin{exercise}
    任取$\beta$中的两个集合$A_1 = [a_1,b_1),A_2 = [a_2,b_2)$，都有$A_1 \cap A_2 = [\min\{a_1,a_2\}, \max\{b_1,b_2\}) \in \beta$，
    推而广之，可知有限多个$\beta$中成员的交依然在$\beta$之中；此外，任意$x \in \R$，都可以找到$x \in [x-1,x+1) \in \beta$，则说明$\bigcup \beta = \R$。
    这些说明$\beta$是$\R$的一个拓扑基。
    
    此外，任意的$A = [a,b) \in \beta $，很明显$A$是$\R$的开集，
    而
    \begin{align*}
        \R - A  &= (-\infty, a) \cup [b,+\infty)    \\
                &= \bigcup_{i=1}^{+\infty}\left([a-i,a-i+1) \cup [b+i-1,b+i) \right)
    \end{align*}
    拆解开的每一个成员都是$\beta$中的成员，进而$\R-A$是开集，进而$A$是闭集。
    \qed


\end{exercise}

\begin{exercise}
    假设这个拓扑基$\beta = \{U_i\}_{i = 1,2,\cdots}$，取$A = \{x_i \mid x_i \in U_i, i = 1,2,\cdots\}$。
    则显然$A$是可数集，并且$A$是稠密的，因为任取$x \in X-A$，任何包含$x$的开集$U$总可以表示成$U = \bigcup\limits_{i \in I \subseteq \N^+}U_i$，
    则对于任意的$i \in I \subseteq \N^+$，$x_i \in U_i \subseteq U$并且$x_i \in A$，故$x$是$A$的极限点，进而$\bar{A} = X$。\qed
\end{exercise}